* 일변량 방정식(Univariate Equation): 일변량 방정식은 하나의 변수만을 포함하는 방정식을 말합니다. 이 변수는 일반적으로 x라고 표현됩니다. 일변량 방정식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같습니다:
ax + b = 0
여기서 a와 b는 상수이며, a ≠ 0이어야 합니다. 이러한 일변량 방정식은 x에 대한 하나의 해를 가집니다.
예를 들어, 다음은 일변량 방정식의 예입니다: 2x + 5 = 9
해를 구하기 위해 다음과 같이 계산할 수 있습니다: 2x = 9 - 5 2x = 4 x = 2
* 다변량 방정식(Multivariate Equation): 다변량 방정식은 두 개 이상의 변수를 포함하는 방정식을 말합니다. 다변량 방정식은 2개의 변수로 된 이차 다항식일 수도 있고, 더 많은 변수로 된 비선형 방정식일 수도 있습니다.
예를 들어, 다음은 다변량 방정식의 예입니다: 2x + 3y = 10
이 방정식은 x와 y 두 개의 변수를 가지며, 이차 방정식이 아니므로 선형 방정식이 됩니다. 이러한 방정식은 일반적으로 무수히 많은 해를 가질 수 있습니다.
다변량 방정식의 해를 구하는 것은 변수의 개수에 따라 복잡성이 증가할 수 있으며, 선형 방정식의 경우 해가 하나가 될 수도, 무수히 많이 될 수도 있고, 해가 없을 수도 있습니다.
요약하면, 일변량 방정식은 하나의 변수를 포함하는 방정식을 말하며, 다변량 방정식은 두 개 이상의 변수를 포함하는 방정식을 의미합니다.
* 선형 연립방정식(Linear System of Equations): 선형 연립방정식은 두 개 이상의 변수들의 일차항들로 이루어진 방정식들의 집합입니다. 각 변수의 최고 차수는 1로 제한됩니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타납니다:
a₁x + b₁y + c₁z + ... = d₁ a₂x + b₂y + c₂z + ... = d₂ ... aₙx + bₙy + cₙz + ... = dₙ
여기서 x, y, z는 변수들이고, a, b, c는 해당 변수들의 계수, d는 우변의 상수입니다. 이러한 선형 연립방정식의 해는 각 변수들의 값으로 이루어진 조합으로 표현됩니다.
예를 들어, 다음은 선형 연립방정식의 예입니다: 2x + 3y = 8 4x - y = 2
이러한 연립방정식을 해결하기 위해 다양한 수학적 기법과 방법이 사용됩니다. 가장 흔히 사용되는 방법은 가우스 소거법이나 행렬 연산 등입니다.
* 비선형 연립방정식(Nonlinear System of Equations): 비선형 연립방정식은 두 개 이상의 변수들이 곱셈이나 거듭제곱 등의 비선형적인 항들로 이루어진 방정식들의 집합입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타납니다:
F₁(x, y, z, ...) = 0 F₂(x, y, z, ...) = 0 ... Fₙ(x, y, z, ...) = 0
여기서 F₁, F₂, ..., Fₙ는 비선형 함수들입니다. 이러한 비선형 연립방정식의 해는 각 변수들의 값으로 이루어진 조합으로 표현됩니다.
예를 들어, 다음은 비선형 연립방정식의 예입니다: x² + y² = 25 x + y = 7
비선형 연립방정식은 선형 연립방정식보다 해를 구하기 어려울 수 있으며, 해를 구하는데에는 수치적인 근사 또는 반복적인 방법이 사용될 수 있습니다.
요약하면, 선형 연립방정식은 두 개 이상의 변수들의 일차항들로 이루어진 방정식들의 집합이고, 비선형 연립방정식은 비선형적인 항들로 이루어진 방정식들의 집합입니다.
* 정방 방정식 (Square System of Equations): 정방 방정식은 변수의 수와 방정식의 수가 동일한 연립 방정식을 말합니다. 즉, n개의 변수로 이루어진 n개의 방정식으로 이루어진 방정식들의 집합입니다. 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타납니다:
a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁ a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂ ... aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ
여기서 x₁, x₂, ..., xₙ은 변수들이고, aᵢⱼ는 해당 변수들의 계수, bᵢ는 우변의 상수입니다. 정방 방정식은 주로 선형 대수학과 관련된 문제들에서 많이 사용됩니다.
예를 들어, 다음은 정방 방정식의 예입니다:
- x + 2y = 5 3x - y = 2
- 2x - y + z = 1 x + 3y - 2z = 8 4x - y + 3z = 4
- 비정방 방정식 (Non-Square System of Equations): 비정방 방정식은 변수의 수와 방정식의 수가 서로 다른 연립 방정식을 말합니다. 즉, n개의 변수로 이루어진 m개 (n ≠ m)의 방정식으로 이루어진 방정식들의 집합입니다. 이러한 방정식들은 일반적으로 불완전하거나 과잉으로 정의되어 있습니다.
예를 들어, 다음은 비정방 방정식의 예입니다:
- x + y = 3 2x - y = 1 3x + y - z = 2
- 3x - y + z = 5 x + 2y = 4
* 비정방 방정식은 정방 방정식보다 해를 구하는 것이 더 복잡할 수 있습니다. 때로는 해가 존재하지 않을 수도 있고, 무수히 많은 해가 존재할 수도 있습니다. 이러한 경우에는 선형 대수학과 관련된 기법을 사용하여 해를 찾을 수 있습니다.
요약하면, 정방 방정식은 변수의 수와 방정식의 수가 동일한 연립 방정식을 말하며, 비정방 방정식은 변수의 수와 방정식의 수가 서로 다른 연립 방정식을 의미합니다.
고윳값방정식(eigenvalue equation)은 정방 행렬에 대해서 특정한 조건을 만족하는 경우에 사용되는 중요한 방정식입니다. 정방 행렬 A와 스칼라 λ에 대해서 다음과 같은 고윳값방정식이 성립합니다:
det(A - λI) = 0
여기서 det는 행렬의 행렬식(determinant)을 나타내며, I는 단위 행렬(identity matrix)입니다. λ는 행렬 A의 고윳값(eigenvalue)을 나타냅니다.
위의 고윳값방정식을 만족하는 λ를 찾는 것은 행렬 A의 고윳값을 구하는 것과 같습니다. 고윳값은 행렬 A에서 정방 행렬과의 차이를 나타내는 스칼라 값으로, 특별한 성질을 가지고 있습니다.
고윳값방정식을 풀면 A의 고윳값(λ)을 얻을 수 있으며, 각 고윳값에 대응하는 고유벡터(eigenvector)를 구할 수도 있습니다. 고유벡터는 행렬 A를 곱하더라도 방향이 변하지 않고 크기만 변하는 벡터로, 고윳값방정식을 통해 구한 고윳값과 연관되어 있습니다.
